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수학/기타 내용

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슈바르츠 랜턴(Schwarz Lantern) - 곡면의 넓이에 관한 고찰 (좋은) 곡선의 길이를 어떻게 구할까? 가장 직관적인 방법은 곡선을 직선들로 근사하고, 분할을 잘게 했을 때 직선 길이 합의 극한을 구하는 것이다. 그러면 웬만한 좋은 곡선의 길이를 구할 수 있다. 이런 방식으로 곡선의 길이를 구할 수 있는 곡선을 rectifiable curve라고 부른다. 그렇다면 곡면의 넓이는 어떻게 구할까? 위 방법에서 착안하여 곡면을 삼각형들로 근사하고, 분할을 잘게 했을 때(즉 각 삼각형의 넓이->0)의 삼각형 넓이 합의 극한을 구하면 될 것 같다. 각 삼각형은 한 평면 위에 있을 테니 충분히 넓이를 구할 수 있다. 이렇게 하면 웬만한 좋은 곡면의 넓이를 구할 수 있을까? 답은 아니다. 슈바르츠 랜턴이 바로 그 반례다. 우리가 곡면 하면 떠올릴 수 있는 쉬운 예시인 원기둥 옆면..
분수계 미적분학(Fractional calculus) 우리는 (잘 주어진) 함수를 3번 미분도, 2번 적분도, 100번 미분도 할 수 있다. 그런데 누군가 질문했다. 꼭 자연수 번 미분하거나 적분해야 합니까? 유리수 번이나 무리수 번은 불가능한가요? 왜 이런 질문을 그래서 수학자가 대답했다. ...해보죠! 역사적으로 그래서인지 아닌지는 모르겠지만, 어쨌든 수학자들은 임의의 실수 번 미분하거나 적분하는 법을 만들어낸다. 이것이 어떻게 가능할까? 우선 미분과 적분을 조금 다른 시선에서 바라봐야 한다. 바로 입력으로 함수를 받아 출력으로 함수를 내놓는, 즉 (좋은) 함수 공간을 함수 공간으로 보내는 함수인 작용소(연산자, operator)로 보는 것이다. (대학 미적분학을 공부했다면 $v$방향 미분과 대응되는 작용소 $D_v$에 익숙할 것이다.) 1번 미분과 대..
[미적분학] 편미분 교환법칙 편미분 교환법칙이란, x로 편미분하고 y로 편미분하나 y로 편미분하고 x로 편미분하나 같다는 것이다. 물론 모든 함수에 대해 성립하는 것은 아니고, 풀정리는 다음과 같다. 어떤 open set \(U\in\mathbb{R}^n\)에서 정의된 이급함수(모든 이계편미분계수가 연속인 함수) \(f :U\to\mathbb{R}\)에 대해, \(D_i D_j f = D_j D_i f \) 이 성립한다. 미적분학 2 김홍중 책에 소개된 증명은 다음과 같다. 라이프니츠 정리를 써야 하는데, 모르는 사람은 이 증명 말고 아래 다른 증명을 봐도 괜찮다. (증명) 점 \(P\)를 포함하는 \([a, b]\times[c, d] \in U\) 속에서, $$\int_c^y{D_1 D_2 f(x, t)} dt=\frac{\par..
거리의 제곱의 합이 최소인 점 흔한 고1 평면좌표 문제다. 과외 준비하다가 발견했다. \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\)에 대해 \(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)이 최소인 점 \(P\)의 좌표는? 풀이 1) \(P(x, y)\)라 놓고 완전제곱식 꼴로 잘 묶어보면 \(P\)가 무게중심일 때 최소이다. 하지만 재미가 없다. 그래서 풀이 2) 답이 무게중심이라는 것을 이미 알고 있어야 하지만... 벡터를 이용해 증명해보자. \(G\)를 무게중심이라고 하면, \(\overline{PA}^2=(\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA})^2=\overline{PG}^2+2\overrightarrow{PG}\cdot\..
수학 증명보조기 LEAN 며칠 전에 Quanta magazine 팟캐스트https://www.quantamagazine.org/can-computers-be-mathematicians-20220629/를 듣다가 LEAN이라는 것의 존재성을 알게 됐다. 사실 듣다가 졸아서 정확히 무슨 얘기인지 파악은 못했지만, 궁금해져서 찾아봤다. 우선 LEAN 홈페이지는 https://leanprover.github.io/이다. 근데 처음 검색했을 때 저 페이지 말고 https://leanprover-community.github.io/index.html가 먼저 떴는데, 시작하기에는 여기가 더 좋은 것 같다. 수많은 영어를 헤치고... 시작하기에 제일 좋은 방법이 The Natural Number Game이라는 튜토리얼 비슷무리한 것을 진행하는..
민코프스키 정리 최근에 An introduction to the Theory of Numbers라는 정수론 책을 샀다. KMO 할 때 정수론을 젤 좋아했었어서 대학 정수론은 무슨 내용일지 궁금했기 때문이다. 3장에 민코프스키 정리가 나오는데, 격자점까지는 그렇다 쳐도 영역의 넓이가 나와서 약간 당황했다. 그래서인지 geometry of numbers (기하+정수??)에 응용된다고 한다. 민코프스키 정리는 다음과 같다. 이 글에서는 평면 \(\mathbb{R}^2\)과 격자점 (정수, 정수)에 대해서만 생각하고 있다. \(\mathbb{R}^n\)으로의 확장도 가능한 것 같은데 자세히는 안 찾아봤다. 민코프스키 정리 원점에 대해 대칭인 임의의 볼록집합(convex set)의 넓이가 4보다 크다면, 원점 외의 다른 격자점을..
피타고라스 삼원쌍(pythagorean triple) 세 자연수 \(p, q, r\)이 \(p^2+q^2=r^2\)을 만족하면, 집합 \( \left\{p, q, r\right\}\)를 피타고라스 삼원쌍이라고 부른다. 예시로는 \(\left\{3, 4, 5\right\}, \left\{6, 8, 10\right\}\) 등이 있다. 이 아래로는 \( \left\{6, 8, 10\right\}\) 같이 최대공약수>1인 경우 말고, 각 원소가 서로소인 경우만을 생각한다. 어차피 서로소가 아닌 경우는 서로소인 경우에 적당한 수를 곱하면 되기 때문이다. 간단한 계산을 통해 임의의 자연수 \(k\)에 대해, \( \left\{4k, 4k^2-1, 4k^2+1\right\}\), \( \left\{2k+1, 2k(k+1), 2k(k+1)+1\right\}\)은 피타고라..
[해석개론] 하이네-보렐 정리 (Heine-Borel Theorem) 잠깐 하이네-보렐 정리를 검색해보니까 일반위상수학에서의 정의가 나오는데... 책의 챕터 제목이 basic topology긴 하지만 난 아직 위상수학을 제대로 공부하지 않았으므로 그냥 이 책에서의 정리를 소개한다. Baby Rudin 책의 2.41 Theorem을 베껴왔다. (이런 것도 저작권이 있나??) \(\mathbb{R}^k\)의 부분집합 \(E\)에 대해, 다음의 세 조건은 동치다. (a) \(E\)가 닫힌 집합(closed)이자 유계 집합(bounded)이다. (b) \(E\)는 콤팩트 집합(compact)이다. (c) 모든 \(E\)의 무한 부분집합은 \(E\)의 원소 중 집적점(limit point)이 존재한다. 이때 (a)는 거리공간(metric space)가 \(\mathbb{R}^k\)..

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