최근에 An introduction to the Theory of Numbers라는 정수론 책을 샀다. KMO 할 때 정수론을 젤 좋아했었어서 대학 정수론은 무슨 내용일지 궁금했기 때문이다.
3장에 민코프스키 정리가 나오는데, 격자점까지는 그렇다 쳐도 영역의 넓이가 나와서 약간 당황했다. 그래서인지 geometry of numbers (기하+정수??)에 응용된다고 한다.
민코프스키 정리는 다음과 같다. 이 글에서는 평면 R2과 격자점 (정수, 정수)에 대해서만 생각하고 있다. Rn으로의 확장도 가능한 것 같은데 자세히는 안 찾아봤다.
민코프스키 정리 원점에 대해 대칭인 임의의 볼록집합(convex set)의 넓이가 4보다 크다면, 원점 외의 다른 격자점을 포함한다. |
대칭은 당연히 점대칭을 의미한다. 넓이는 꼭짓점이 (0,0) (1,1)인 정사각형의 넓이가 1인 우리가 아는 넓이다.
볼록집합은 많이 들어본 볼록다각형, 오목다각형의 그 차이라고 보면 된다. 2가지로 정의할 수 있고, 둘은 동치다.
1. 집합의 임의의 두 점을 이은 선분 위의 점이 모두 집합에 속한다.
2. 경계 위의 임의의 점에 대해, 그 점을 지나는 직선을 잘 택하면 모든 점이 직선의 한쪽에 위치하도록 할 수 있다. (사실 경계도 정의해야 하지만... 패스)

(저렴한 그림)
책에 3가지 증명이 나오는데, Minkowski의 두 증명은 글로 쓰기 힘들어서 패스...
Mordell의 증명은 다음과 같다.
pf) 원점에 대해 대칭인 볼록집합 R의 임의의 두 점 P1=(x1,y1),P2=(x2,y2)에 대해, 원점에 대해 대칭이므로 P3=(−x2,−y2)도 R의 점이고, 볼록집합이므로 정의 1에 의해 P1,P3의 중점 12(x1−x2,y1−y2)도 R의 점이라는 사실을 짚고 가자.
자연수 t를 고정하고, 평면을 2t×2t 정사각형 격자로 나누자. 즉, 직선 x=2pt와 y=2qt (p,q는 정수)로 평면을 나누자. 그렇다면 정사각형의 넓이는 4t−2이며 정사각형의 꼭짓점은 (2pt,2qt) 꼴이다.
R이 포함하는 꼭짓점의 수를 N(t)라고 하자. 그렇다면 나이브하게(ϵ−δ 쓰면 엄밀하게 증명할 수 있겠지만 아이디어만 갖고 가자) t→∞이면 4t−2N(t)→Area(R)이다. Area(R)>4이므로 역시 나이브하게 N(t)>t2이다.
N(t)>t2이면 비둘기집 원리에 의해, R에 속하는 어떤 서로 다른 두 꼭짓점 (2p1t,2q1t),(2p2t,2q2t)이 존재하여 p_1 \equiv p_2, q_1 \equiv q_2 \pmod{t}이다. (즉 t로 나눈 나머지가 각각 같다.)
위에서 짚고 간 사실에 의해, (\frac{p_1-p_2}{t}, \frac{q_1-q_2}{t}) 역시 R의 점이고, 이 점은 원점이 아닌 격자점이다. 따라서 증명이 끝난다. _\blacksquare
책에는 정수 격자 말고 다른 격자로 확장시키는 경우도 나오는데, 내 흥미를 끌지는 못했다. 궁금하시다면 찾아보시길...
그리고 위키백과에서는 평면에서 \mathbb{R}^n으로 확장시킨 버전을 소개한다. 예상했겠지만 부피가 2^n 초과일 때~~~이다. (책 챕터 24에도 나온다. 기력 상실해서 읽지는 않았지만..)
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