거리의 제곱의 합이 최소인 점

흔한 고1 평면좌표 문제다. 과외 준비하다가 발견했다.

\(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)\)에 대해 \(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2\)이 최소인 점 \(P\)의 좌표는?

풀이 1) \(P(x, y)\)라 놓고 완전제곱식 꼴로 잘 묶어보면 \(P\)가 무게중심일 때 최소이다.

하지만 재미가 없다. 그래서

풀이 2) 답이 무게중심이라는 것을 이미 알고 있어야 하지만... 벡터를 이용해 증명해보자.

\(G\)를 무게중심이라고 하면,

\(\overline{PA}^2=(\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{GA})^2=\overline{PG}^2+2\overrightarrow{PG}\cdot\overrightarrow{GA}+\overline{GA}^2\)

이고, \(G\)가 무게중심이므로 \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)이 되어

\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2=3\overline{PG}^2+\overline{GA}^2+\overline{GB}^2+\overline{GC}^2\)

\(\geq\overline{GA}^2+\overline{GB}^2+\overline{GC}^2\)

이다. 이때 등호성립조건은 \(\overline{PG}=0\), 즉 \(P=G\)이므로

거리의 제곱의 합이 최소인 점은 무게중심이다. \(_\blacksquare\)