분수계 미적분학(Fractional calculus)

우리는 (잘 주어진) 함수를 3번 미분도, 2번 적분도, 100번 미분도 할 수 있다.

그런데 누군가 질문했다. 꼭 자연수 번 미분하거나 적분해야 합니까? 유리수 번이나 무리수 번은 불가능한가요? 왜 이런 질문을

그래서 수학자가 대답했다. ...해보죠!

역사적으로 그래서인지 아닌지는 모르겠지만, 어쨌든 수학자들은 임의의 실수 번 미분하거나 적분하는 법을 만들어낸다. 

이것이 어떻게 가능할까? 

 

우선 미분과 적분을 조금 다른 시선에서 바라봐야 한다. 

바로 입력으로 함수를 받아 출력으로 함수를 내놓는, 즉 (좋은) 함수 공간을 함수 공간으로 보내는 함수인 작용소(연산자, operator)로 보는 것이다. 

(대학 미적분학을 공부했다면 $v$방향 미분과 대응되는 작용소 $D_v$에 익숙할 것이다.) 

1번 미분과 대응되는 작용소를 $D$, 1번 적분과 대응되는 작용소를 $J$라고 한다. 

$(Df)(x)=\frac{d}{dx}f(x)$이고, $(Jf)(x)=\int_0^x f(t)dt$이다. 

(즉 $D$가 함수 $f$에 작용하면 $Df$라는 함수를 얻게 되는데, 그 함수는 $x$에 대한 함숫값이 $\frac{d}{dx}f(x)$인 함수)

 

개념의 확장의 기본은 기존 개념을 살피는 것이다. 

우선 자연수 번 적분하면 어떻게 되는지, 즉 $n$이 자연수일 때 $J^n f$가 어떤 꼴인지 확인해보자. 

$(J^2 f)(x)=\int_0^x (Jf)(t)dt=\int_0^x (\int_0^t f(s)ds)dt$이다. 

여기에 Cauchy formula for repeated integration을 적용하면

(https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_formula_for_repeated_integration ; 그냥 귀납이다)

$(J^2 f)(x)=\int_0^x (x-t)f(t)dt$이고, 반복적용하면

$(J^n f)(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}f(t)dt$ 를 얻을 수 있다. 

이제 임의의 양수 $\alpha$로 어떻게 확장을 할까?

식을 보면, $n$은 두 군데 보인다. 바로 $\frac{1}{(n-1)!}$과 지수의 $n-1$이다. 이 중 후자는 $\alpha-1$로 확장하면 자연스럽다. 하지만 팩토리얼은 어떻게 확장할까?

그때 이용하는 것이 바로 감마 함수(Gamma function)이다. 감마함수는 $0<\alpha<\infty$에 대해 다음과 같이 정의된다.

$\Gamma(\alpha)=\int_0^{\infty} t^{\alpha-1}e^{-t} dt$

감마 함수의 성질에는 다음이 있다.

1. $\Gamma(1)=1$. $n$이 자연수일 때, $\Gamma(n)=(n-1)!$

2. $\Gamma(\alpha+1)=\alpha\Gamma(\alpha), \forall 0<\alpha<\infty$

3. $\log\Gamma$는 볼록함수(convex)

(이 세 조건을 만족하는 함수가 감마함수 뿐이라는 것도 보일 수 있다.)

따라서 $(n-1)!$을 $\Gamma(n)$으로 보고, $J^{\alpha}$로 확장해보자. 

$(J^n f)(x)=\frac{1}{(n-1)!}\int_0^x (x-t)^{n-1}f(t)dt$

$\implies (J^{\alpha} f)(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-t)^{\alpha-1}f(t)dt$

짠! 확장이 되었다. 이렇게 적분을 확장하는 방식을 Riemann-Liouville integral이라고 부른다. 

물론 이 확장이 좋은 확장인지는 좀 더 체크가 필요하다.

좋은 확장은 원래의 성질을 보존한다. 

이 경우는 다음의 성질을 보존한다 : 

2번 적분하고 1번 적분하거나 1번 적분하고 2번 적분하거나 3번 적분한 것은 같다

$\implies (J^\alpha)(J^\beta f)(x)=(J^\beta)(J^\alpha f)(x)=(J^{\alpha+\beta} f)(x)$

https://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_calculus#Heuristics 증명은 링크 참고 (사실 이 글 전체가 그냥 이 링크의 내용이다)

 

미분의 경우는 (내가 생각하기에) 조금 더 애매하다.

미분과 적분은 서로 반대라고 생각할 수 있다. 즉 $\alpha$번 미분한 것은 $-\alpha$번 적분한 것이다.

그런데 우리는 임의의 양수에 대한 적분만 정의했다. 그렇다면 미분을 어떻게 생각할 수 있을까? 

$0<\alpha<1$을 우선 생각하자. $\alpha$번 미분한 것은 $-\alpha$번 적분한 것과 같고,  $-\alpha$번 적분한 것은 $1-\alpha$번 적분하고 1번 미분한 것과 같다. 이때 $1-\alpha$번 적분과 1번 미분은 모두 정의 가능하므로, 

$(D^\alpha f)(x)=\frac{d}{dx}(J^{1-\alpha} f)(x)=\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\frac{d}{dx}\int_0^x\frac{f(t)}{(x-t)^\alpha}dt$

라고 정의할 수 있다. 

마찬가지로 $n+\alpha$번의 미분은 $1-\alpha$번 적분하고 $n+1$번 미분한 것과 같으므로, 그렇게 정의하면 된다.

다만 주의할 점이, 미분의 경우에는 순서를 바꾸거나 더하는 것이 일반적으로 성립하지 않는다. 

즉, $D^\alpha (D^\beta) \neq D^\beta (D^\alpha) \neq D^{\alpha+\beta}$이다. 

 

물론 이렇게 적분과 미분을 정의하는 법 말고도 다양한 방법이 제시됐다. 궁금하면 찾아보길 바란다.

그리고 어딘가에 응용된다. 이해는 못했다...

https://en.wikipedia.org/wiki/Differintegral 이 문서도 참고하면 좋다.