[미적분학] 편미분 교환법칙

편미분 교환법칙이란, x로 편미분하고 y로 편미분하나 y로 편미분하고 x로 편미분하나 같다는 것이다. 물론 모든 함수에 대해 성립하는 것은 아니고, 풀정리는 다음과 같다.

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어떤 open set \(U\in\mathbb{R}^n\)에서 정의된 이급함수(모든 이계편미분계수가 연속인 함수) \(f :U\to\mathbb{R}\)에 대해,
\(D_i D_j f = D_j D_i f \)
이 성립한다.

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미적분학 2 김홍중 책에 소개된 증명은 다음과 같다. 라이프니츠 정리를 써야 하는데, 모르는 사람은 이 증명 말고 아래 다른 증명을 봐도 괜찮다.
(증명) 점 \(P\)를 포함하는 \([a, b]\times[c, d] \in U\) 속에서,
$$\int_c^y{D_1 D_2 f(x, t)} dt=\frac{\partial}{\partial x}\int_c^y{D_2f(x,t)}dt \ (\because \text{라이프니츠 정리}) $$
$$=\frac{\partial}{\partial x}(f(x, y)-f(x, c)) $$
$$=D_1f(x, y)-D_1f(x,c) $$
(왠지 모르게 티스토리에서 수식 정렬이 안 된다..)
이제 양변을 $y$로 미분하면,
$$D_1D_2f(x,y)=D_2D_1f(x,y)$$
를 얻는다. \(_\blacksquare\)
여기서 궁금한 점이 생길 수 있다. 과연 증명 과정에서 이급함수, 즉 이계편미분계수가 연속이라는 조건은 언제 쓰인 것일까? 그냥 이계편미분계수가 존재하기만 하면 되는 것 아닌가? 이미 답을 알고 있을지도 모르지만, 나는 답을 찾는데 조금 고민했으니 설명하겠다.
우선 미분과 적분의 순서를 바꾸는 라이프니츠 정리는 일급함수일 때 사용할 수 있다. 즉, 이 경우 이급함수이므로 \(D_2f(x, t)\)가 일급함수라서 사용 가능했다.
또한, 양변을 $y$로 미분 가능한 것도 $f$가 이급함수이기 때문이다. 미적분학의 기본정리에는 사실 중요한 조건이 있다. 바로 “$F’=f$인 $F$가 존재할 때”이다. $f$가 연속이 아니라면 이러한 $F$는 존재하지 않을 수도 있고, $f$의 적분이 미분 불가능할 수도 있다. 1 이하에서는 1, 1 초과에서는 2인 함수를 적분해보면 알 수 있다. 하지만 연속인 경우는 이 조건을 만족하기 때문에 ($F(x)=\int_a^x{f(t)} dt$로 정의하면 미분 가능한 것을 보일 수 있다) 미적분학의 기본 정리를 쓸 수 있어서 고등학교 때 별 고민 없이 썼던 것이다.


라이프니츠 정리를 쓰지 않는 두 번째 증명은 James Stewart Calculus에 소개된 증명이다.
(증명) $[x, x+h]\times[y, y+h]\in U$인 충분히 작은 $h>0$에 대해, ($h<0$일 때도 동일하다.)
$$\Delta(h):=[f(x+h, y+h)-f(x+h, y)]-[f(x, y+h)-f(x, y)] $$
를 생각하자. $g(t):=f(t, y+h)-f(t, y)$라 하면, $\Delta(h)=g(x+h)-g(x)$이다.
$f$가 이급함수이므로 $g$는 미분 가능하다. 따라서 평균값 정리에 의해,
$$\exists c\in(x, x+h) : \Delta(h)=g'(c)h=h(D_1f(c, y+h)-D_1f(c, y))$$
이다.
또한 $D_1f$를 $y$에 대해 미분할 수 있으므로, 평균값 정리에 의해
$$\exists d\in(y, y+h) : \Delta(h)=h^2D_2D_1f(c, d)$$
이다.
$h\to 0$이면 $(c, d)\to (a,b)$이고, $D_2D_1f$는 연속이므로,
$$\underset{h\to0}{\lim}\frac{\Delta(h)}{h^2}=\underset{(c,d)\to(a,b)}{\lim}D_2D_1f(c, d)=D_2D_1f(x, y)$$
이다.
그런데, $\Delta(h)=[f(x+h, y+h)-f(x, y+h)]-[f(x+h, y)-f(x, y)]$로도 생각할 수 있고, 위의 과정을 반복하면
$$\underset{h\to0}{\lim}\frac{\Delta(h)}{h^2}=D_1D_2f(x, y)$$
를 얻는다.
따라서 $D_2D_1f(x, y)=D_1D_2f(x,y)$이다. $_\blacksquare$

편미분 교환법칙은 어렵지 않게 k번 편미분 했을 때의 교환법칙으로 확장할 수 있다.


사실 편미분 교환법칙은 두 번 미분 가능, 즉 모든 일계편도함수가 미분 가능하기만 해도 성립한다. 이는 모든 이계편도함수가 연속이라는 조건보다 약한 조건이다. 모든 이계편도함수가 연속이면 일계편도함수가 일급함수이므로 미분 가능하다. (‘열린 집합에서 정의된 일급함수는 미분 가능하다.’는 정리가 있다.) 하지만 두 번 미분 가능하다고 해서 모든 이계편도함수가 연속일 필요는 없다.

또한 $D_1f, D_2f, D_2D_1f$의 존재성과 $D_2D_1f$이 정의역의 어떤 점에서 연속한 것만 알아도, $D_1D_2f$가 존재한다는 사실과 편미분 교환법칙이 성립한다는 것을 보일 수 있다.
편미분 교환법칙이 성립하지 않는 함수의 예시는 다음에서 확인할 수 있다. (쓰려다가 귀찮아져서ㅎㅎㅎ)
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives#Requirement_of_continuity

Symmetry of second derivatives - Wikipedia