슈바르츠 랜턴(Schwarz Lantern) - 곡면의 넓이에 관한 고찰

(좋은) 곡선의 길이를 어떻게 구할까?
가장 직관적인 방법은 곡선을 직선들로 근사하고, 분할을 잘게 했을 때 직선 길이 합의 극한을 구하는 것이다.
그러면 웬만한 좋은 곡선의 길이를 구할 수 있다. 이런 방식으로 곡선의 길이를 구할 수 있는 곡선을 rectifiable curve라고 부른다.

그렇다면 곡면의 넓이는 어떻게 구할까?
위 방법에서 착안하여 곡면을 삼각형들로 근사하고, 분할을 잘게 했을 때(즉 각 삼각형의 넓이->0)의 삼각형 넓이 합의 극한을 구하면 될 것 같다.
각 삼각형은 한 평면 위에 있을 테니 충분히 넓이를 구할 수 있다.
이렇게 하면 웬만한 좋은 곡면의 넓이를 구할 수 있을까?

곡선의 작은 직선으로의 분할과 곡면의 작은 삼각형으로의 분할

답은 아니다. 슈바르츠 랜턴이 바로 그 반례다.
우리가 곡면 하면 떠올릴 수 있는 쉬운 예시인 원기둥 옆면에 대해서도 위와 같은 방식으로 곡면의 넓이를 구할 수 없다.

귀찮으니까 높이와 반지름이 1인 원기둥을 생각하고, 옆면을 그림과 같이 분할하자.

원기둥 옆면 분할 방법. 그림 퀄리티를 무시하고 상상력을 발휘하면 랜턴과 닮았다.

높이를 $m$등분하고, 그 조각의 윗면과 아랫면을 각각 $n$등분(엇갈리게) 해서 삼각형으로 분할하는 것이다. 

이제 이렇게 분할했을 때 삼각형의 넓이의 합을 구해보자.
한 삼각형의 넓이는 $\sqrt{(\frac{1}{m})^2+(1-\cos{\frac{\pi}{m}})^2}\sin{\frac{\pi}{n}}$이다.

한 삼각형의 넓이 구하기. 그림이... 이해가 될까?

전체 삼각형의 넓이의 합 $S(n, m)=2nm\sqrt{(\frac{1}{m})^2+(1-\cos{\frac{\pi}{m}})^2}\sin{\frac{\pi}{n}}$이다.
하지만 이 값의 극한은 존재하지 않는다. $n$을 고정시키고 $m$을 무한대로 보내면 쉽게 확인할 수 있다.
따라서 이렇게 삼각형으로 곡면을 근사하는 방법으로는 원기둥 옆면의 넓이를 구할 수 없다! 그렇다면 도대체 어떻게 곡면의 넓이를 구할 수 있을까?

직선의 길이를 구하는 방법을 다시 생각해보자.
작은 직선들은 결국 곡선의 접선에 가까워진다.
식도 $\int_{t_0}^{t_1} |\gamma’(t)|dt$ 이런 식이다.
그러면 곡면의 넓이도 접평면에 가까운 도형으로 잘게 자르면 구할 수 있을 것 같다.
실제로 정규곡면이면 이렇게 넓이를 구할 수 있다. 공식 유도는… 아무 미적분학 교과서를 참고하자.

위의 상황을 다시 보자.
$n$을 고정시키고 $m$을 무한대로 보내면 삼각형들이 이루는 표면이 굉장히 ‘자글자글’해진다.

m이 커지면 삼각형이 점점 눕는다.

반면 $m$을 고정시키고 $n$을 무한대로 보내면 각 삼각형이 접평면과 가까워지므로, 원하는 원기둥 옆면의 넓이 $2\pi$가 나온다.

참고로 그래서 컴퓨터 그래픽이나 유한요소법(finite element method)을 사용할 때 곡면을 삼각형으로 ‘잘’ 분해해야 한다는데 음… 내 영역은 아니라 패스... 나중에 편미분방정식 배울 때 나오려나?

출처 : https://en.m.wikipedia.org/wiki/Schwarz_lantern