민코프스키 정리

최근에 An introduction to the Theory of Numbers라는 정수론 책을 샀다. KMO 할 때 정수론을 젤 좋아했었어서 대학 정수론은 무슨 내용일지 궁금했기 때문이다. 

3장에 민코프스키 정리가 나오는데, 격자점까지는 그렇다 쳐도 영역의 넓이가 나와서 약간 당황했다. 그래서인지 geometry of numbers (기하+정수??)에 응용된다고 한다. 

민코프스키 정리는 다음과 같다. 이 글에서는 평면 \(\mathbb{R}^2\)과 격자점 (정수, 정수)에 대해서만 생각하고 있다. \(\mathbb{R}^n\)으로의 확장도 가능한 것 같은데 자세히는 안 찾아봤다. 

민코프스키 정리 원점에 대해 대칭인 임의의 볼록집합(convex set)의 넓이가 4보다 크다면, 원점 외의 다른 격자점을 포함한다.

대칭은 당연히 점대칭을 의미한다. 넓이는 꼭짓점이 (0,0) (1,1)인 정사각형의 넓이가 1인 우리가 아는 넓이다. 

볼록집합은 많이 들어본 볼록다각형, 오목다각형의 그 차이라고 보면 된다. 2가지로 정의할 수 있고, 둘은 동치다.

1. 집합의 임의의 두 점을 이은 선분 위의 점이 모두 집합에 속한다.

2. 경계 위의 임의의 점에 대해, 그 점을 지나는 직선을 잘 택하면 모든 점이 직선의 한쪽에 위치하도록 할 수 있다. (사실 경계도 정의해야 하지만... 패스)

(저렴한 그림)

책에 3가지 증명이 나오는데, Minkowski의 두 증명은 글로 쓰기 힘들어서 패스...

Mordell의 증명은 다음과 같다.

pf) 원점에 대해 대칭인 볼록집합 \(R\)의 임의의 두 점 \(P_1=(x_1, y_1), P_2=(x_2, y_2)\)에 대해, 원점에 대해 대칭이므로 \(P_3=(-x_2, -y_2)\)도 \(R\)의 점이고, 볼록집합이므로 정의 1에 의해  \(P_1, P_3\)의 중점 \(\frac{1}{2}(x_1-x_2, y_1-y_2)\)도 \(R\)의 점이라는 사실을 짚고 가자. 

자연수 \(t\)를 고정하고, 평면을 \(\frac{2}{t} \times \frac{2}{t}\) 정사각형 격자로 나누자. 즉, 직선 \(x=\frac{2p}{t}\)와 \(y=\frac{2q}{t}\) (\(p, q\)는 정수)로 평면을 나누자. 그렇다면 정사각형의 넓이는 \(4t^{-2}\)이며 정사각형의 꼭짓점은 \((\frac{2p}{t}, \frac{2q}{t})\) 꼴이다.

\(R\)이 포함하는 꼭짓점의 수를 \(N(t)\)라고 하자. 그렇다면 나이브하게(\(\epsilon-\delta\) 쓰면 엄밀하게 증명할 수 있겠지만 아이디어만 갖고 가자)  \(t \to \infty\)이면 \(4t^{-2}N(t) \to Area(R)\)이다. \(Area(R)>4\)이므로 역시 나이브하게 \(N(t)>t^2\)이다. 

\(N(t)>t^2\)이면 비둘기집 원리에 의해, \(R\)에 속하는 어떤 서로 다른 두 꼭짓점 \((\frac{2p_1}{t}, \frac{2q_1}{t}), (\frac{2p_2}{t}, \frac{2q_2}{t})\)이 존재하여 \(p_1 \equiv p_2, q_1 \equiv q_2 \pmod{t}\)이다. (즉 \(t\)로 나눈 나머지가 각각 같다.)

위에서 짚고 간 사실에 의해, \((\frac{p_1-p_2}{t}, \frac{q_1-q_2}{t})\) 역시 \(R\)의 점이고, 이 점은 원점이 아닌 격자점이다. 따라서 증명이 끝난다. \(_\blacksquare\)

 

책에는 정수 격자 말고 다른 격자로 확장시키는 경우도 나오는데, 내 흥미를 끌지는 못했다. 궁금하시다면 찾아보시길... 

그리고 위키백과에서는 평면에서 \(\mathbb{R}^n\)으로 확장시킨 버전을 소개한다. 예상했겠지만 부피가 \(2^n\) 초과일 때~~~이다. (책 챕터 24에도 나온다. 기력 상실해서 읽지는 않았지만..) 

위키 링크 : https://en.wikipedia.org/wiki/Minkowski%27s_theorem