피타고라스 삼원쌍(pythagorean triple)

세 자연수 \(p, q, r\)이 \(p^2+q^2=r^2\)을 만족하면, 집합 \( \left\{p, q, r\right\}\)를 피타고라스 삼원쌍이라고 부른다. 예시로는 \(\left\{3, 4, 5\right\}, \left\{6, 8, 10\right\}\) 등이 있다. 

 이 아래로는 \( \left\{6, 8, 10\right\}\) 같이 최대공약수>1인 경우 말고, 각 원소가 서로소인 경우만을 생각한다. 어차피 서로소가 아닌 경우는 서로소인 경우에 적당한 수를 곱하면 되기 때문이다. 

 

간단한 계산을 통해 임의의 자연수 \(k\)에 대해,  \( \left\{4k, 4k^2-1, 4k^2+1\right\}\),  \( \left\{2k+1, 2k(k+1), 2k(k+1)+1\right\}\)은 피타고라스 삼원쌍임을 확인할 수 있다.

하지만 위 두 가지 표현은 모든 피타고라스 삼원쌍을 표현하지 못한다. 예를 들어, 첫 번째 표현은  \( \left\{7, 24, 25\right\}\)를, 두 번째 표현은  \( \left\{15, 8, 17\right\}\)을 표현하지 못한다. 

모든 피타고라스 삼원쌍을 표현할 수 있는 방법이 있는데, 이는 다음과 같다.

임의의 서로소이고 홀짝이 다른 자연수 \(m>n\)에 대해,  \( \left\{m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2\right\}\)

세 수가 서로소이고 피타고라스 식을 만족한다는 것은 쉽게 확인할 수 있다.

모든 피타고라스 삼원쌍이 이렇게 표현됨을 보이는 방법은 다음과 같다.

 

증명 1. (원래 내가 알던) 정수론적 증명

\(\left\{p, q, r\right\}\)이 서로소이고 \(p^2+q^2=r^2\)일 때, \(p, q\) 중 하나는 홀수, 하나는 짝수, 그리고 \(r\)이 홀수인 것은 well-known이다. (\(p, q\) 둘 다 홀수라 가정했을 때 mod 4에 모순)

일반성을 잃지 않고 \(q\)가 짝수라고 하자.

\(q^2=(r+p)(r-p)\)이다. 

\(r+p\)와 \(r-p\)의 최대공약수는 2이고(유클리드 호제법), 곱이 제곱수이므로,

어떤 서로소인 두 자연수 \(m, n\)에 대해, \(r+p=2m^2, r-p=2n^2\)으로 표현할 수 있다. 

따라서 대입하면 \(\left\{p, q, r\right\}=\left\{m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2\right\}\)이다. \(_\blacksquare\)

 

증명 2. (미적분학 1 김홍중 저 참고)

\(p^2+q^2=r^2\)이면 \((\frac{p}{r})^2+(\frac{q}{r})^2=1\)이므로, 단위원 \(x^2+y^2=1\)의 유리점을 구하면 충분하다. 

\(t \in \mathbb{R}\)에 대해, 직선 \(y=t(x+1)\)과 단위원이 만나는 점은 \((\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\)이다. 

\(t\)가 유리수이면 자명하게 \((\frac{1-t^2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2})\)는 유리점이다.

또한 직선  \(y=t(x+1)\)과 단위원이 만나는 점이 유리점이라면, \(t\)는 \((-1,0)\)과 유리점을 이은 직선의 기울기이므로 유리점이다. 

따라서 단위원 위의 점은 유리수 \(t\)와 일대일 대응이다. 

또한 직선 \(y=t(x+1)\)과 단위원이 만나는 점이 제1사분면 위에 있으려면 \(0<t<1\)이어야 한다. 

이제 1 미만 양의 유리수 \(t=\frac{n}{m}\)이라 하면(\(m, n\)은 서로소인 자연수, \(m>n\)), 피타고라스 삼중쌍과 \( \left\{m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2\right\}\)이 일대일대응되는 것을 확인할 수 있다. 

(\(m, n\)이 둘 다 홀수면 \(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2\)이 공약수 \(2\)를 가지므로 제외한다.) \(_\blacksquare\)

 

참고로 피타고라스 삼원쌍에 관해 영어 위키백과에 자세히 나와 있으니 궁금한 사람은 읽어보기를 추천한다. 

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple

Pythagorean triple - Wikipedia

위키백과에서 발견한 것 중 흥미로운 내용은, \(n\)번째 피보나치 수를 \(F_n\)이라고 했을 때,

$$(F_n F_{n+3})^2+(2F_{n+1} F_{n+2})^2=F^2_{2n+3}$$

이라는 점이다. 피보나치 수에 관한 이런 류의 식이 흔히 그러하듯 수학적 귀납법 쓰면 대충 증명 되려나? 계산은 귀찮아서 패스.. 

 

KMO할 때 배웠으니까 분명 피타고라스 삼원쌍을 응용해서 푸는 문제가 있을텐데 못 찾았다. 언젠가 생각나면 추가하겠다.