[해석개론] 하이네-보렐 정리 (Heine-Borel Theorem)

잠깐 하이네-보렐 정리를 검색해보니까 일반위상수학에서의 정의가 나오는데... 책의 챕터 제목이 basic topology긴 하지만 난 아직 위상수학을 제대로 공부하지 않았으므로 그냥 이 책에서의 정리를 소개한다. Baby Rudin 책의 2.41 Theorem을 베껴왔다. (이런 것도 저작권이 있나??)

$\mathbb{R}^k$의 부분집합 $E$에 대해, 다음의 세 조건은 동치다.  (a) $E$가 닫힌 집합(closed)이자 유계 집합(bounded)이다.  (b) $E$는 콤팩트 집합(compact)이다.  (c) 모든 $E$의 무한 부분집합은 $E$의 원소 중 집적점(limit point)이 존재한다.

이때 (a)는 거리공간(metric space)가 $\mathbb{R}^k$일 때만 동치고, (b), (c)는 임의의 거리공간에 대해 동치다.

(a)가 $\mathbb{R}^k$에서만 특별히 동치인 이유는 $\mathbb{R}^k$에서 k-cell이 compact이므로, $E$가 어떤 compact set (여기선 k-cell)의 closed subset이기 때문이다. compact set의 closed subset도 compact set이라는 정리가 있다. 

(b)=>(c) 증명은 '무한' 부분집합을 잡은 것과 compact의 정의가 '유한' open subcover가 존재한다는 것임을 잘 엮으면 된다.

(c)=>(b) 증명은 Exercise 22~26에 걸쳐 나와있다.

먼저 '분해 가능 공간'(separable space)을 정의한다. 거리공간이 가산(countable) 조밀(dense) 부분집합을 포함할 때, 이를 분해 가능 공간이라고 한다. 어떤 부분집합이 조밀하다는 것은 거리공간의 모든 점이 부분집합의 원소거나 부분집합의 집적점이라는 뜻이다. 다른 말로 하면 임의의 neighborhood를 잡아도 그 안에 부분집합의 원소가 포함되어 있다는 뜻이다. 예를 들어 $\mathbb{R}^k$는 가산 조밀 부분집합인 $\mathbb{Q}^k$을 포함하므로 분해 가능 공간이다. (부분집합이라는 말 자체에 포함된다는 뜻이 있어서 약간 동어 반복 같아서 꼽지만.. 중요하지 않다)

또한 기저(base)를 정의한다. 거리공간 $X$의 부분집합의 collection(집합의 집합) $\left\{V_\alpha\right\}$가 다음을 만족하면, $X$의 기저라고 한다 : 임의 $x\in X$와 임의 $x$를 원소로 갖는 열린 집합 $G\subset X$에 대해, 어떤 $V_\alpha$가 존재해 $x\in V_\alpha\subset G$이다. 

다른 말로 하면, 모든 $X$의 열린 집합은 $V_\alpha$의 subcollection의 합집합이다. (열린 집합의 각 원소 $x$에 대해 위 시행?하면 됨)

(c)의 조건을 만족하는 거리공간은 분해 가능 공간이다(Exercise 24). 또한 분해 가능 공간은 가산 기저(countable base)를 갖는다(Exercise 23). (증명 생략)

이제 (c)=>(b)를 보일 수 있다.

거리공간 $X$가 (c)의 조건을 만족한다고 하자. $X$는 가산 기저를 가지고, 이를 $\left\{V_n\right\} (n\in\mathbb{N})$이라 두자. 임의의 $X$의 open cover에 대해, open set은 기저의 합집합으로 나타낼 수 있으므로, 임의의 기저로 이루어진 open cover가 finite subcover를 가진다는 것을 증명하면 충분하다. finite subcover를 잡고, subcover의 각 기저와 이를 포함하는 원래 open cover 원소를 대응시키면 되기 때문이다. 

이제 어떤 $X$의 open cover $\left\{ V_{n_{\alpha}} \right\}$가 finite subcover를 갖지 않는다고 가정하자. 그렇다면 $W_k \equiv V_{n_1} \cup V_{n_2} \cup \cdots \cup V_{n_k}$에 포함되지 않는 $X$의 원소가 존재한다. 이제 각 $W_k$에 속하지 않는 원소 $x_k$들의 집합을 생각하자. 이 집합은 $X$의 무한 부분집합이므로, (c)에 의해 limit point $x$를 갖는다. $x$ 역시 $X$의 원소이므로, 어떤 $V_{n_k}$에 속한다. $V_{n_k}$는 open set이므로, 어떤 $x$의 neighborhood $N_r (x) \subset V_{n_k}$이다. 그런데, $x_{k+1}, x_{k+2}, \ldots$는 $V_{n_k}$의 원소가 아니므로, $N_r (x)$에는 유한 개의 $x_i$만 포함된다. 이는 $x$가 limit point임에 모순이다. 따라서 항상 finite subcover를 가지므로, $X$는 compact다. 

 

갑자기 이 글을 쓴 이유는 위상수학 책을 심심풀이로 읽어보는데 base가 나와서 반가웠기 때문이다. 그 위상수학 책에서는 basis를 먼저 정의하고 basis로 생성된 topology를 정의하는데 뭐 결국 같은 얘기 같다. 아직 공부해야 할 게 많다.