[미적분학] 테일러 급수

전 글에 테일러 급수가 잠깐 언급되었길래 써 본다. 이런 식으로 주제를 계속 뽑아낼 수 있을 것 같기도 하다.

 

테일러 급수는 함수를 다항함수로 근사하는 방법이다. 

 

우선 멱급수의 형태로 표현할 수 있는 함수가 있다. 예를 들어,

$${1 \over {1-x}}=1+x+x^2+x^3+\cdots=\sum_{n=0}^\infty x^n \quad |x|<1$$

이다. 

 

만약 멱급수 \(\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n\)의 radius of convergence (수렴 반지름) \(R>0\)이라면, 다음과 같이 정의되는 함수 \(f\)는 구간 \((a-R, a+R)\)에서 다음과 같은 성질을 만족한다. 

정의 : 

$$f(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\cdots=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n$$

성질 : 

(i) 미분 가능하며

\(f'(x)=c_1+2c_2(x-a)+3c_3(x-a)^2+\cdots=\sum_{n=1}^\infty nc_n(x-a)^{n-1}\)

(ii) \(\int f(x)\, dx = C+c_0(x-a)+c_1{(x-a)^2 \over 2}+c_2{(x-a)^3 \over 3}+\cdots\)

      \(=C+\sum_{n=0}^\infty c_n{(x-a)^{n+1} \over {n+1}}\)

이 때 (i)과 (ii) 식의 수렴반지름 역시 \(R\)이다. 

 

위 성질은 말 그대로 멱급수의 각 항을 미분하거나 적분해서 더하는 식으로 계산해도 괜찮다는 뜻이다. (term-by-term)

증명은 생략... 하지만 상당히 직관적으로 그럴 것 같은 내용이므로 일단은 받아들이자. 

 

이제 테일러 급수를 알아보자. 

다음과 같이 멱급수로 표현되는 어떤 함수 \(f\)를 생각하자.

$$f(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\cdots=\sum_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n$$

조금 생각해보면, 이 함수의

$$f(a)=c_0$$

$$f'(a)=c_1$$

$$f''(a)=2c_2$$

$$\cdots$$

$$f^{(n)}(a)=n!c_n$$

임을 알 수 있다.

다른 말로 하면, 

$$c_n={f^{(n)}(a) \over n!}$$

이다. 

 

즉, \(f(x)\)는 다음과 같은 꼴로 나타내지고, 이를 \(f\)의 테일러 급수라고 한다.

\(f(x)=\sum_{n=0}^\infty {f^{(n)}(a) \over n!}(x-a)^n\)

\(=f(a)+{f'(a) \over 1!}(x-a)+{f''(a) \over 2!}(x-a)^2+\cdots\)

특별히 \(a=0\)일 때를 Maclaurin series라고 한다.

 

따라서 전 글에서 이용한 \(f(x)=e^x\)의 \(0\)에서의 테일러 전개는, 모든 \(n\)에 대해 \(f^{(n)}(0)=e^0=1\)이므로 

\(e^x=\sum_{n=0}^\infty {x^n \over n!}\)이 되는 것이다. 

그리고 이 급수는 모든 \(x\)에 대해 수렴한다.

 

출처 : James Stewart Calculus Eighth Edition