[해석개론] 닫힌 집합(closed set)과 열린 집합(open set)의 정의

지금 배우고 있는 중(Rudin 책 2장 나가는 중)이라 깊은 인사이트는 없지만 복습용으로 적어본다. 

우선 우리가 아는 일반적인 규칙에서, 구간 [0, 1]은 닫힌 집합이고 구간 (0, 1)은 열린 집합이다. 이를 수학적으로 엄밀하게 정의해보자. 

일단 닫힌 집합과 열린 집합을 정의하려면 원소(점) 간 '거리'가 필요하다. 아무래도 "{a, b, c}가 닫힌 집합입니까?" 같은 질문이 성립하는 건 좀 이상하다. 

정의 : 거리와 거리공간(metric space) 집합 \(X\)의 임의의 두 원소 \(p, q\)에 대해, 다음의 세 조건을 만족하는 실수 \(d(p,q)\)가 존재하면, \(d(p, q)\)를 \(p\)와 \(q\)사이의 거리(distance)라고 하고, \(X\)를 거리 공간(metric space)라고 한다.  1. \(d(p, q)>0 \;\;if \;\;p\neq q, \;\;d(p, q)=0 \;\;if\;\; p=q\) 2. \(d(p, q)=d(q, p)\) 3. 모든 \(X\)의 원소 \(r\)에 대해 \(d(p,q) \leq d(p,r)+d(r, q)\)

정의의 타당성은 우리가 보통 생각하는 거리 개념을 떠올려 확인하자. 

1번 조건 :  거리가 0이면 같은 점이고, 거리가 음수일 수는 없다. 

2번 조건 : 당연히 A와 B 사이의 거리와 B와 A 사이의 거리는 같다. 

3번 조건 : 1, 2번만큼 자명해 보이지는 않는다. 그러나 초등학생 때도 배운 삼각부등식이다. 

 

예를 들어, 실수 집합(\(\mathbb{R}\))에서 두 원소 \(x, y\) 사이의 거리를 \(|x-y|\)로 정의하면 위의 모든 조건을 만족하므로 거리 공간이다. 

 

닫힌 집합과 열린 집합을 정의하기 전, 몇 가지 정의가 더 필요하다. 우선 거리 공간을 \(X\), \(X\)의 부분집합을 \(E\)라고 표기하자. 

정의 : 근방(neighborhood) 어떤 점의 근방(neighborhood)란, 그 점으로부터 특정 거리 미만인 모든 점의 집합이다.  즉 \(N_r(p)\)는 점 \(p\)에 대해, \(d(p, q)<r\)인 모든 점 \(q\)의 집합이다. (단, \(r>0\))

이때 \(N_r(p)\)에는 점 \(p\)도 포함된다. 

 

정의 : 집적점(limit point) 다음 조건을 만족할 때 점 \(p\)를 집합 \(E\)의 집적점(limit point)이라 한다. : 모든 \(p\)의 neighborhood에 \(q\in E\)인 어떤 점 \(q\neq p\)가 존재한다.

이때 \(p\)는 \(E\)의 원소일 필요가 없다.

한 마디로, 아무리 limit point \(p\) 주위로 좁은 공간을 잡아도 \(E\)의 원소가 존재한다는 뜻이다. 

 

이제 닫힌 집합을 정의할 수 있다.

정의 : 닫힌 집합(closed) \(E\)의 모든 limit point가 \(E\)의 원소일 때, \(E\)를 닫힌 집합이라 한다.

예를 들어, 구간 [1, 2]의 모든 limit point는 [1, 2]이므로 구간 [1, 2]는 닫힌 집합이다.

반면 구간 (1, 2)의 경우, 1 역시 limit point인데 구간에 속하지 않으므로 구간 (1, 2)는 닫힌 집합이 아니다.

참고로 닫힌 집합과 열린 집합은 반대 개념이 아니다. 어떤 집합이 닫힌 집합이면서 열린 집합일 수도 있고, 둘 다 아닐 수도 있다. 

 

열린 집합을 정의하기 위해서는 내부점(interior point)을 정의해야 한다. 

정의 : 내부점(interior point) 다음 조건을 만족할 때 점 \(p\)를 집합 \(E\)의 내부점(interior point)이라 한다. : 어떤 \(p\)의 neighborhood \(N\)이 존재해 \(N\subset E\)이다.

neighborhood는 \(p\)를 포함하므로, 내부점은 모두 \(E\)의 원소다.

말 그대로 경계가 아니라 '내부에 속하는' 점이다.

 

열린 집합의 정의는 다음과 같다.

정의 : 열린 집합(open) \(E\)의 모든 원소가 내부점일 때, \(E\)를 열린 집합이라고 한다.

구간 (0, 1)을 생각해보자.

0.001 같은 원소를 잡는다해도, 0.001의 반지름 0.0005인 neighborhood (0.0005, 0.0015)는 구간 (0, 1)에 속한다.

대충 이런 논리로 (0, 1)은 열린 집합이다. 

 

참고로 공집합은 닫힌 집합이자 열린 집합이다.

닫힌 집합의 정의는 if p is a limit point of E, p is in E이고,

열린 집합의 정의는 if p is in E, p is an interior point of E인데

둘 다 모두 조건이 거짓이므로 참이기 때문이다. (p이면 q이다 라는 명제에서 p가 거짓이면 항상 참)

 

그래서 왜 이런 것을 정의했냐? 하면 잘 모르겠다 

집합들의 성질을 나누고 분류하고 싶었기 때문이 아닐까? 

나중에 compact set 정의할 때도 필요하다. 

좀 더 공부하고 글을 더 쓰겠다. 

 

(20220828) 이상하게 이 글만 조회수가 높아서 조금 내용을 추가해야 할 것 같다는 생각이 들었다. 다들 개학 전에 해석개론을 검색해보는 것일까? 아니면 알고리즘? 글을 썼을 때와의 차이가 해석개론1을 끝내고 위상수학을 맛봤다 정도밖에 없지만 일단 조금이라도..

열린 집합과 닫힌 집합의 개념은 연속함수를 정의할 때 필요하다. 거리 공간에서는 엡실론-델타로도 연속을 정의할 수 있지만, 거리 공간이 아닌 경우에도 쓸 만한 연속함수의 정의를 만들고 싶은 것이다. 이는 엡실론-델타로 정의한 것과 동치여야 한다. 그 정의는 바로 '공역의 모든 열린 집합의 역상(inverse image)이 정의역에서 열린 집합인 함수'이다. '공역의 모든 닫힌 집합의 역상이 정의역에서 닫힌 집합인 함수'와 동치기도 하다. 물론 거리 공간이 아닌 위상 공간에서는 열린 집합에 대한 정의가 다르다. 위상수학은 독학하다가 던져둬서, 아마 겨울방학쯤에 다시 하지 않을까 싶다. 그때 티스토리에 글을 쓸지도? 

 

출처 : Rudin 책 2장