e는 왜 무리수인가

우선 자연대수 \(e\)의 정의는 다음과 같다.

$$e=\lim_{n \to \infty}(1+{1\over n})^n$$

그런데 \(e\)는 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$$e=\sum_{k=0}^\infty {1 \over n}$$

증명은 테일러 전개를 이용하는 것이 가장 빠르다.

다음 글을 참고하자. https://rudmath.tistory.com/4

테일러 전개 없이 직관적?인 해석(엄밀한 증명 X)을 원한다면 다음을 참고하자. 

왜냐하면 \((1+{1\over n})^n\) 을 전개하면 \(\sum_{k=0}^n {n \choose k}{1\over n^k}\)인데, 

\(\lim_{n \to \infty}{n \choose k}{1 \over n^k}=\lim_{n \to \infty}{{n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)} \over {n \cdot n \cdots n}}{1 \over k!}={1 \over k!}\)이기 때문이다. 

출처 : https://math.stackexchange.com/questions/1054175/why-does-the-sum-of-the-reciprocals-of-factorials-converge-to-e

Why does the sum of the reciprocals of factorials converge to $e$?

다른 증명도 확인할 수 있다. 

 

 

이제 증명을 해보자.

첫 번째 증명 : 

귀류법을 사용하기 위해 \(e\)가 유리수, 즉 \(a/b\) 꼴이라고 가정하자(\(a, b\)는 서로소인 자연수). \(2<e<3\)이므로 \(b\)는 \(1\)일 수 없다.

이때 x를 다음과 같이 정의하자.

$$x=b!(e-\sum_{k=0}^b{1 \over k!})$$

x는 아래와 같이 표현되므로 x는 정수이다.

$$x=a(b-1)!-\sum_{k=0}^b{b! \over k!}$$

하지만,

$$x=\sum_{k=b+1}^\infty {b! \over k!}>0$$

$$x=\sum_{k=b+1}^\infty {b! \over k!}<\sum_{k=b+1}^\infty {1 \over {(b+1)^{k-b}}}=\sum_{k=1}^\infty {1 \over {(b+1)^k}} = {{1 \over {b+1}} \over {1-{1 \over {b+1}}}}={1 \over b}<1$$

인데 \(0\)과 \(1\) 사이의 정수는 없으므로 모순이다.

따라서 \(e\)가 유리수라는 가정이 잘못됐으므로 \(e\)는 무리수다. 

 

두 번째 증명 : 

\(e\)를 위와 동일하게 유리수, 즉 \(a/b\) 꼴이라고 가정하고(\(a, b\)는 서로소인 자연수), \(x\)도 똑같이

$$x=b!(e-\sum_{k=0}^b{1 \over k!})=\sum_{k=b+1}^\infty {b! \over k!}$$

라고 하면, \(x\)는 정수인데,

$$(b+1)x=1+{1 \over (b+2)}+{1 \over (b+2)(b+3)}+\cdots<1+{1 \over (b+1)}+{1 \over (b+1)(b+2)}+\cdots=1+x$$

이므로 두 정수 \(b, x\)에 대해 \(bx<1\)이 되어 모순이다.

따라서 \(e\)는 무리수이다.

 

위 두 증명의 출처는 위키백과다. https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_e_is_irrational

Proof that e is irrational - Wikipedia

문서가 따로 있다는 사실이 흥미롭다. 물론 위키백과가 신뢰도가 높지는 않지만... 어차피 수학 증명은 내가 읽으면서 체크하면 된다는 생각이다. 오류가 있다면 고수 분들이 댓글로 알려주실 것이다. 

 

기타 증명 :

https://www.jstor.org/stable/27642006?origin=crossref (대충 유리수라 가정했을 때 분모로 가능한 자연수가 없음을 증명. geometric proof이면 기하학적 증명이라는 뜻이라고 믿는다.)

https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~marin/une_autre_crypto/articles_et_extraits_livres/Cohn_H_A_Short_proof_of_the_simple_convergent_of_e.pdf (연분수 이용)

등이 있다

완전 정독은 안 해봤지만...

아직 간단한 수학 논문이더라도 풀로 소화하기엔 정신력이 많이 필요하다.